第五届 Xionger 网络数学竞赛试卷
高中数学组
|
 |
官方微信公众号：Xionger 的数学小屋
每题暂不设分值，希望诸位尽可能多地作答.
试题解答请及时发送到邮箱 2609480070@qq.com, 逾期将取消参赛资格. 要求解答字迹清楚, 排版美观, 推荐采用 PDF 文档格式提交, 文件命名: 分析与方程组 + 昵称
（或姓名）+ 学校.
此网页版本熊赛题由 Aina Lagrange 用 Html+Javascript 排版，如果您在阅读的过程中发现任何网页的bug或者比赛结束以后对题目有疑问，可以联系 Alina Lagrange 
\[ \]
1. (北京邮电大学, 哈士奇 供题)
函数 \( f(x)\) 在 \(\mathbb{R}\) 有二阶导数 \( f^{\prime \prime}(x)\). 已知 \( \forall x \in \mathbb{R}, f(x)-f^{\prime \prime}(x)>0\), 且 \(\exists x_0 \in \mathbb{R}, f\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right)<0\) , 证明 \(\forall x \in \mathbb{R}, f(x)<0\).
\[ \]
2. (北京邮电大学, 哈士奇 供题)
已知数列 \(\left\{a_n\right\}\) 中, \(a_1=\frac{15}{11}, a_{n+1}=a_n-\ln a_n\), 求证:
(1) \(\left\{a_n\right\}\) 为单调递诚数列;
(2) $$\frac{13^{2^{n-1}}+2^{2^{n-1}}}{13^{2^{n-1}}-2^{2^{n-1}}} \leq a_n \leq 1+\frac{2 \times 6^{2^{n-1}}}{6^{2^n}-2^{2^{n-1}+1} \cdot 3^{2^{n-1}-1}+1}$$
\[ \]
3. (湖南大学, 柯熙不懂事 供题)
已知 \(a, b, c, d, e\) 均为实数, 且满足 \(a+3 b+5 c+7 d+9 e=\sqrt{26}\), 求 \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+(a+ b+c+d+e)^2\) 的最小值.
\[ \] 4. (湖南大学, 柯熙不懂事 供题)
已知椭圆方程 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\), 椭圆的两个焦点为 \(F_1, F_2\). 过 \(F_2\) 作一条动直线 \( l\) , 直线不与 \(x\) 轴重合. 直线 \(l\) 与椭圆交于 \(A, B\) 两点, 连接 \(A F_1, B F_1\), 试探究: 当直线 \(l\) 运动时, \(\triangle A F_1 B\) 的顶点 \(F_1\) 所对的旁心 \(I_{F_1}\) 的轨迹.
\[ \]
5. (家里蹲大学, Dylen 供题)
试证明: $$ \sum_{k=1}^n \sqrt{n^2+k^2} \sin \left(\frac{k \pi}{2 n}\right)>\frac{\sqrt{2} n(n+1)}{2} . $$
\[ \]
6. (湖南大学, 柯熙不懂事 供题)
如图所示, 在 \(\triangle A B C\) 中, \(A D, A E\) 分别为三角形的内外角平分线,
点 \(H\) 是三角形的垂心. 点 \(H\) 在 \(A D, A E\) 上的射影分别为点 \( P, Q\). 证明: 直线 \(P Q\) 经过 \(B C\) 边的中点.
\[\]
\[\]
7. (湖南大学, 柯熙不懂事 供题)
现将 \(X O Y\) 平面上的每一个点都进行染色处理, 每个点只能被染成红色黄色、蓝色中的一种颜色, 点与点之间可以连线. 证明: 无论染色方案如何, 在 \(X O Y\) 平面上总是能够找到一类三角形它们满足如下条件:
它们是相似三角形;
它们的相似比是 2022;
它们是同色三角形 (三角形的三个顶点颜色相同).
\[ \]
8. (湖南大学, 柯熙不懂事 供题)
如图所示, 在锐角 \( \triangle A B C\) 中, \( H\) 是垂心, \( D\) 是垂足, 设 \(R=\sqrt{H A \cdot A D}\). 以 A 作为圆心, \(R\) 为半径作一圆 \(\Omega\), 在圆 \(\Omega\) 上任意选取一点 \(P\), 直线 \(P B, P C\) 交圆 \(\Omega\) 于点 \(Q, R\). 证明: \( R, H, Q\) 三点共线.
\[ \]
\[ \]
9. (湖南大学, 柯熙不懂事 供题)
设三角形的三个顶点为 \(A, B, C \cdot \sum_{c y c}\) 表示轮换求和, 回答以下问题:
(a) 若三角形 \(A B C\) 是锐角三角形, 证明
$$
\sum_{c y c} \frac{\cot A}{1-\cot B \cot C}>\frac{5}{2}
$$
(b) 求最大的实数 \(k\) 的取值, 使得对于任意三角形 \(A B C\) 都有
$$
\sum_{c y c} \frac{\cot A}{1-\cot B \cot C} \geq k
$$
恒成立.
\[ \]
10. (湖南大学, 柯熙不懂事 供题)
将 \( n \times n\) 的方格表进行红蓝二染色, 使得任意 2 行 3 列或 3 行 2 列相交所得的 6 个方格一定不全同色. 求 \(n\) 的最大值.
\[ \]
